نظریه ی ارزش مارکس واندکی جبر خطی،( موخره ی ریاضی)

می خواهم به زبان ریاضی نشان دهم در یک وجه تولید پایدار ، یعنی وجه تولیدی که قادر به بازسازی مداوم خودش (مسلما با مصرف کار انسانی ، نه مثل مورد بهشت کولاکوفسکی!!) است ، می توان به مقدار معین از کالای معین ، ارزش معینی نسبت داد.
( تبصره : دقیق تر بگویم ، در صورتی این امر ممکن می شود که به صورت بالقوه ،طبیعت پایان نا پذیر باشد: منابع سوختی تمام نشود، اقیانوس ماهی داشته باشد و ... به عبارت دیگر باید شرایطی نامتناهی گونه برای توسعه وجود داشته باشد.
در قسمت آخر نشان می دهم دقیقا به چه دلیل این موضوع مهم است .این فرض ، فرضی ریشه دار در نظریه ی مارکس است ، و به نظر من ظاهر شدن اش در این تحلیل ریاضی اصلا در بخت و اقبال ریشه ندارد! )
مسئله را به صورت ریاضی بیان می کنم:
ارزش واحد کالا را با ایکس ، نسبت های تولید و مصرف کالا ها را با الف و مقدار کار لازم را با ب نشان می دهم:
A_1,1 x_1=A_1,2 x_2+...+A_1,n x_n +b_1
یعنی این که برای تولید مقدار الف 1و1 از کالای ایکس1 ،،،،،مقدار الف 1و2 از کالای ایکس 2و الخ مصرف شده ، به علاوه ی ب1 ساعت کار انسانی که لازم بوده است .
به همین ترتیب ان منهای یک معادله ی دیگر
A_2,2 x_2=A_2,1 x_1+...+A_2,n x_n +b_2
...

برای هر کدام از کالا هایی که در وجه تولید ام وجود دارد ، شرایط تولید را به این ترتیب می نویسم ، و بعد می خواهم دستگاه را برای ایکس ها حل کنم (جزئیات خواهد آمد.)
تعریف می کنیم:
i<>j ,,,,A'i,j= - Ai,j
i=j ,,,,,,,,A'i,j=Ai,j
به این ترتیب ، کل داستان را می شود به صورت ماتریسی نوشت
A'x=b
این همان معادله ی اولی است ، خیلی ساده همه ی ایکس ها را برده ام یک طرف))
این یک دستگاه معادله ی ناهمگون است ،یعنی این که ب صفر نیست ، کار انسانی مصرف شده است ( باز هم این کولاکوفسکی روی اعصاب من است ! ببین چه کار کرده با آن مثال!)
پس فقط یک جواب دارد ، مگر آن که الف پریم ، وارون پذیر نباشد.

در این نقطه اگر می خواهید ، می توانید متقاعد شوید. در ادامه به این "جزئیات تکنیکی" می پردازیم که چرا هیچ وقت در یک وجه تولید واقعا موجود ، الف پریم تکین نیست ( یعنی این که
وارون پذیر است.)
الف پریم تکین است ، اگر و فقط اگر بشود با مجموعه ای از عملیات خطی ، دو سطر آن را متناسب کرد.

اما پیش از این به دو مورد بدیهی تر بپردازیم ، این که قبل از عملیات خطی ، دو سطر مساوی باشد. می خواهیم ببینیم این در اقتصاد چه معنی دارد.

مورد اول ، حمل و نقل :
این وجه تولید خیالی و بسیار ساده را تصور کنید :
کالای زیره در کرمان تولید می شود. مستقیما از دل طبیعت ، با مقدار غیر صفری کار.
کالای زیره از کرمان به تهران آورده می شود ، با مقدار غیر صفری کار.
کالای زیره از تهران به کرمان برده می شود ، با مقدار غیر صفری کار.

این وجه تولید شامل دو کالا است : زیره در تهران، و زیره در کرمان.
اما سه خط توصیف دارد! واضح است دلیل چیست ، به کرمان بردن زیره، کار بیهوده ایست. زیرا قبلا آن را از کرمان آورده ایم .

خط سوم نمی تواند به شکل معنی داری جزو وجه تولید باشد.
نکته اخلاقی : برای تولید هر کالا ، فقط یک خط بنویسید!

حالت دیگر این است که یک نفر بیاید ، و سطر اول را حذف کند . حالا دو معادله دو مجهول داریم ، ولی باز هم بی شمار جواب دارد. این حالت مثل حالت کلی است
که در آخر بحث می کنیم. اما دلیل روشن است : در واقع وجه تولید فقط حمل و نقل است ، تولید نداریم!مورد کلی هم در اساس همین است ، اندکی پیچیده تر.
(این که تولید نداریم ، یعنی این که کل زیره محدود است ! یعنی این که طبیعت به ما اجازه تولید بیشتر زیره نمی دهد. مقایسه کنید با تبصره ی ارائه شده در آغاز.)

مورد دوم، پالایشگاه:
فرض کنید پالایشگاهی در وجه تولید ما هست که دو ماده را در دقیقا یک پروسه ، به نسبتی کاملا مشخص و غیر قابل تغییر تولید می کند . در این صورت ما یک فرایند تولید داریم
برای دو کالا! یعنی این که دو سطر مربوط به این دو کالا ، حتما مساوی هستند!
راه حل: اگر دو کالا دقیقا با نسبت مساوی تولید می شوند ، و هیچ کاری اش هم نمی شود کرد ، یکی از کالا ها ، کم یاب نیست ، یعنی اساسا خارج از اقتصاد است ( به دریاچه ی مازوتی که
پشت پالایشگاه های نفت جمع می شود توجه کنید. تولید مازوت بیش از حد نیاز وجه تولید است. ) صرفا ارزش این کالا را صفر می گذاریم ، و می اندازیمش از دستگاه معادله بیرون .این کالا
در واقع صرفا ضایعات صنعتی است.

تا اینجا نشان دادیم که می شود برای یک اقتصاد ان کالایی ، ان سطر نا مساوی نوشت .

حالت کلی:
اما اگر بعد از عملیات خطی ، دو سطر متناسب شد چه ؟ ( این شرط لازم و کافی تکین بودن است)
عملیات خطی روی ماتریس نسبت ها ، یعنی تغییر پایه ، یعنی تغییر تعریف کالا. مثال ساده ی آن این است:
اقتصادی داریم ، با سه کالای نان ، پنیر ،گردو.
بعد از تغییر پایه ، به اقتصادی تبدیل می شود با سه کالای:
نان پنیر، نان گردو، گردو پنیر.
واضح است که این دو اقتصاد می توانند معادل باشند.
فرض کنیم چنین شده ، در این صورت دقت می کنیم که در هر دو سطر مزبور ، عنصر قطری مثبت باشد .(اگر نبود در منها ضرب کن.)
حالا دقیقا همین مجموعه ی عملیات خطی را که روی ماتریس الف اعمال کرده ایم ، روی بردار ب ( ساعت کار ها ) هم اعمال می کنیم.
این توصیف همان وجه تولید قبلی است ، فقط تعریف کالا ها عوض شده است ( یعنی این که اکنون، کالای متناظر با هر سطر، ترکیب خطی ای
از مقادیر ی از کالا های گوناگون است . در عین حال ، این ترکیب خطی صفر نیست ! زیرا عملیات خطی ماتریس تکین ایجاد نمی کند!)
به این ترتیب ، هر سطر آن توصیف تولید محصولی به نسبت داده شده (حالا مثبت) عنصر قطری است.به علاوه ی محصولات جانبی.
دو حالت ممکن است اتفاق بیفتد:
میزان کار متناظر با دو سطر متناسب، هم علامت است،
این یعنی این که مشکل پالایشگاه تکرار شده . یکی از این دو سطر زیادی است.یک پروسه ی واحد داریم که دارد با نسبت مساوی چیز هایی مصرف ودو یا چند چیز تولید می کند.

حالت از همه جالب تر ، این است که علامت ها بر عکس هم باشد.
این مشکل مشابه مشکل حمل و نقل است. به این معنی است که "تنها" راه تولید یک کالا در وجه تولید شما، صرف جویی در مصرف کالایی دیگر است.
( در شرایط عدم تولید ، تنها راه داشتن زیره در کرمان ، صرف جویی از آن در تهران است. )یعنی شما دارید فرض می گیرید که دقیقا هیچ راهی برای تولید
اندازه ی بیشتری از این دو کالا به صورت هم زمان وجود ندارد! حتی امکان ایجاد تاسیسات تولیدی جدید وجود ندارد و غیره . این فرضی غیر مارکسی است. در نظریه ی مارکسی ،
طبیعت نا متناهی است و تولید هر چقدر که بخواهد ، میتواند گسترش یابد.مثلا اگر شما یک خط لوله ی گاز دارید که مقدار محدودی به وسیله ی آن به شما گاز رسانی می شود ، و این
مقدار برای دو مصرف گرمایش منازل مسکونی و صنعت شما کافی نیست ، می روید یک خط لوله ی جدید ایجاد می کنید .این "ابر کالای تکنولوژیک" در ماتریس وجه تولید شما
یک سطر برای خودش دارد ، و باعث می شود که ماتریس شما تکین نشود.(تکنولوژی از طریق استهلاک اش مصرف می شود. )